関係を含む推理
* 推移的な関係
「サザエはカツオよりも年上である
カツオはワカメよりも年上である
ゆえに、サザエはワカメよりも年上である」
この推理ができるのは、「xはyよりも年上である」が推移的だから
関係Rが推移的であることは、つぎのように表わされる
（∀x）（∀y）（∀z）（（R(x, y)＆R(y, z)）→R(x, z)）
上の推理が形式的に正しいことは、つぎのようにして確かめられる
前提と結論の否定は、つぎのような式の組として表わされる
R(m, n), R(n, o), 〜R(m, o)
関係Rの推移性を表わす式に、普遍限量子を外す操作を繰り返し適用すると、次の式がえられる
（R(m, n)＆R(n, o)）→R(m, o)
これら4つの式の組が矛盾を含むことは明らかである
* 関係の性質
推移性のほかに、関係が持つ興味ある性質としては、つぎのようなものがある
非推移性
（∀x）（∀y）（∀z）（（R(x, y)＆R(y, z)）→〜R(x, z)）
例）親である
対称性
（∀x）（∀y）（R(x, y)→R(y, x)）
例）同じ年齢である
非対称性
（∀x）（∀y）（R(x, y)→〜R(y, x)）
例）より小さい
反対称性
（∀x）（∀y）（（R(x, y)＆R(y, x)）→x=y）
例）≦
反射性
（∀x）R(x, x)
例）同一である
非反射性
（∀x）〜R(x, x)
例）異なる
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