最終課題（必須）

　情報処理・情報処理演習の総仕上げとなる、最終課題を作成してもらいます。
課題は全部で４つあり、そのうち「演習課題１」と「演習課題２」は必須（単位取得の条件）で、
次週出題予定の「演習課題３」と「演習課題４」は任意提出ですが、提出した場合は成績にボーナス点を加えることにします。


演習課題では大まかに、 Ｃ言語によるプログラミング作成能力、gnuplotによるグラフ作成、そして LaTeX による文書作成能力の コンピュータ技術に関する点と，報告書としてのできばえ，つまり 表現の正確さ、論理構造の正しさ，および明確さを評価します。
注 以下の力学系の記述に関しては MKS単位系を用います。

演習課題１(情報処理のレポート課題・〆切７月２６日・学びステーション提出)

1. 表題は「常微分方程式の数値解法におけるオイラー法とルンゲ・クッタ法について」とすること。
   
2. レポートは LaTeX で作成すること。
3. 作成者の氏名、所属およびメールアドレスを表題ページに印字すること。
   もしレポートを共同で作成する場合は共同執筆者全員分を表題ページに併記すること。
4. レポートの構成は概ね以下のようにすること：
   • section 1 イントロダクション・・・問題の説明およびオイラー法・ルンゲクッタ法についての概説
   • section 2 オイラー法について・・・オイラー法の解説
   • section 3 ルンゲ・クッタ法について・・・ルンゲクッタ法の解説
   • section 4 オイラー法とルンゲ・クッタ法の比較・・・それぞれの利点や欠点を比較する
   • section 5 バネに結び付けられた運動の数値計算プログラムと結果の解析・・・以下の具体的な問題について考える：

     　ばね定数 k=1 のばねに結び付けられた、質量 m=1 の物体の運動を考える。
     
     　ばねの伸びる向きを x 軸としたとき、運動方程式は
     
     　
     
     で与えられる。これを次の初期条件で解く。
     
     　
     
     

     この問題の数値解をオイラー法とルンゲ・クッタ法のそれぞれの方法で求めるプログラム、および 実行結果のグラフを載せ、
     結果についての解説を加えること。
     また力学の講義で周知のように、この方程式は以下のような厳密解（単振動）
     
     がわかっている。これとプログラムで求めた数値解との比較（誤差の見積もり等）もすること。
   • section 6 まとめ
   • 謝辞…アドヴァイスをもらったり手伝ってもらった場合は、その人に感謝の念を表す文を書くこと。
   • 参考文献…参考にした資料のリスト。本・ネットからの資料・論文など、出典が分かるようにすること。
5. （共同執筆に関する注意）共同でレポートを作成する際には、以下のことを厳守すること
   • 共同執筆のグループのメンバーは概ね4名以下とし、責任者（リーダー）を一人決めること。
   • 誰がレポートのどの箇所の責任をもって執筆したのかを明記すること。
   • 事務にレポートを提出する際は、グループメンバーの各々が提出すること。
     この際, グループの責任者がレポート正本を提出し，そのほかのメンバーは各自が担当した内容を まとめたもの（Ａ４一枚程度）をレポートとして提出すること．

演習課題２（情報処理演習のレポート課題・〆切７月２６日・学びステーション提出）

レポート論題：　ルンゲ・クッタ法による，単振り子の運動の数値解析
以下の指示に従って，プログラムのソースコード，グラフ，表を作成せよ．

　質量 m のおもりを長さ l の伸びないひもに結び付けた振り子を考える。
　

図の様に鉛直方向からの角度を Θ とおくと、運動の接線方向に着目して、運動方程式は以下のように表される
(ただし、質量 m=1、ひもの長さ l=1、重力定数 g=9.8 とおいた)：

　　・・・　（式１）

また、力学の教科書でよくやるように、十分小さな Θ については

　

という近似を用いることで、この振り子の運動方程式は

　　・・・　（式２）

のように簡単化することができる。
　これらの方程式は十分小さな Θ については同じような力学系とされるが、 どの程度の Θ の大きさまでが有効な近似であるかを以下のような手法を用い調べてレポートを作成せよ。
この際、レポートは LaTeX で作成し、グラフ、表、プログラムのソースコードを含めること。

1. ２つの運動方程式（式１）（式２）について、おもりを離す位置を角度（=Θ₀）で与え、そこからもとの位置に戻ってくる（１周期）までの Θ をルンゲ・クッタ法で数値計算するプログラムを作成せよ。 提出物：　ソースコード no.１，no.２
   ヒント
   「１周期の間」計算を繰り返すためには、「Θの値がΘ₀に戻るまで」という条件式を for ループの条件式に書けばよい。
   たとえば、『「Θ<Θ₀」ただし「t=0」のときは除く』のような条件を書けばよいことになる。
2. 作成したプログラムを用いて、おもりを離す位置を、Θ₀=5°,10°,30°とした場合のグラフを作成し、それを印字せよ。
   この際、（式１）（式２）の解のグラフは重ねて描くこと（つまりΘ₀ごとに３つのグラフを作成する）。 提出物：　グラフno.１，no.２，no.３
3. （式１）の運動方程式について、おもりを放すときの角度 Θ₀ に対して、そのときの周期 T を求めるプログラムを作成せよ。
   （1. で作成したプログラムを適当に修正することでできる） 提出物：　ソースコードno.３
   注意
   実は、Θ₀の変化に対して、周期の変化は非常に小さくなっています。時間のきざみを十分に小さくしないと、正確な値がでないことがあります。
4. 1°≦Θ₀≦30°の範囲で、Θ₀ と周期の関係のグラフを描け。 提出物：　グラフ　no.4
5. （式２）の解の周期 T_s は（単振動なので） Θ₀ に関係なく一定で
   
   　
   
   に等しい。そこで（式１）と（式２）の周期のΘ₀ に関する誤差の割合 ((T-T_s)/Θ₀)の表およびグラフを作成せよ。 提出物：　表 no.1，グラフ　no.5