フーリエ展開を利用する解析解

■　フーリエ解析の利用　■

　上記のような理想的な初期条件に対する関数の拡散現象について考えてみましょう。
前回の講義で説明したように、h(x,0)=cos(kx)の時の解析解、つまりが分かっています。前ページで紹介した

を用いて、この関数をフーリエ展開を行うと

これにより、初期時刻におけるフーリエ級数を得ることが出来ました。なお、b_jは全てゼロになります。
これは関数h(x,0) が偶関数であることの結果を表しています。
では、任意の時刻におけるフーリエ級数はどのようにして得られるのでしょうか。初期時刻から任意の時刻に到達するまでに、拡散現象が起こっています。そのため波数k_jはcos波の振幅がa_jから になります。すると、任意の時刻におけるフーリエ級数は次のように表現できる。

確認として、この式の右辺をに代入し、式の解であることを確かめてみましょう。

では、L=2、A=10、D=0.01のとき、フーリエ解析によるh(x,t)はどのよに表現されるのでしょうか。