第４講　指数的関数の社会科学への応用

講義の目的
　１）指数関数及び等比数列の基礎概念を理解する。
　２）指数関数は社会現象の長期的側面を分析するのに有用であることを理解する。
　３）住宅ローンの計算方法及び費用便益法に使用される「現在価値割引率」を理解する。

１．指数関数の定義
　１）次のような関数を指数関数という。

　　　ａ ＞ ０、ａ ≠ １　としたときの　ａ^ｘ
　　　ａ ＞ １　のとき、ｘの変化とともに急速にその値が大きくなる特徴がある。

　　　ここでは主に、ａ ＞ １　のときを用いる。　ｘ ＝ ０　のときかならず、ｙ ＝ １　となる。
　　　携帯電話の普及率・・・94年ごろから急速に普及＝指数関数的増大　（図１）　　　　　　　　　　　　

　２）指数関数のグラフ

　　　（図２）
 

２． 等比数列
　１）数列の初項に、次々に一定の数をかけてつくられる数列を等比数列といい、その一定の値を公比という。
　　例：　１，　２，　４，　８，・・・・　　　　初項　１、公比　　２
　　　　　５，−５，　５，−５，・・・・　　　　初項　５、公比　−１
　　　　　９，　３，　１，１／３，・・・　　　　初項　９、公比　１／３

　　　　一般的に　初項がａ、公比ｒの等比数列　（ａ_１，ａ_２，ａ_３，・・・，ａ_ｎ）
　　　　　　　　　　ａ，ａｒ，ａｒ^２，・・・，ａｒ^ｎ−１
 

　２）等比数列の和の公式とその証明
　　
　　　　　　Ｓ_ｎ＝ａ＋ａｒ＋ａｒ^２＋・・・・＋ａｒ^ｎ−１
　　　　　ｒＳ_ｎ＝　　ａｒ＋ａｒ^２＋・・・・＋ａｒ^ｎ−１＋ａｒ^ｎ　　（両辺をｒ倍し、差を取る）
 

　　　ｒ＜１のとき
　　　　（１−ｒ）Ｓ_ｎ＝ａ−ａｒ^ｎ
　　　　　　　　　　＝ａ（１−ｒ^ｎ）
　　　　　　　　　Ｓ_ｎ＝ａ（１−ｒ^ｎ）／（１−ｒ）

　　　ｒ＞１のとき
　　　　（ｒ−１）Ｓ_ｎ＝ａｒ^ｎ−ａ
　　　　　　　　　　＝ａ（ｒ^ｎ−１）
　　　　　　　　　Ｓ_ｎ＝ａ（ｒ^ｎ−１）／（ｒ−１）
 

　　　ｒ＝１のとき、Ｓｎ＝ｎａ

３． 指数関数の応用１（複利計算）
　１）複利計算の方法　　元金ａ円、年利率ｒ％
　　　１年後の元利合計　　ａ（１＋ｒ／100）
　　　２年後の元利合計　　ａ（１＋ｒ／100）^２
　　　ｎ年後の元利合計　　ａ（１＋ｒ／100）^ｎ
 

　２）事例；１０万円の借金、利子率40％の場合
　　　　　１年後：10   ×（１＋0.4）＝14
　　　　　２年後：14   ×（１＋0.4）＝10×（１＋0.4）^２＝19.6
　　　　　３年後：19.6 ×（１＋0.4）＝10×（１＋0.4）^３＝27.44
　　　　　４年後：27.44×（１＋0.4）＝10×（１＋0.4）^４＝38.416
 
 
 

４．指数関数の応用２（住宅ローンの償還）
　１）住宅金融公庫のホームページ　　http://www.jyukou.go.jp

　２） 例；「Ａ円の住宅ローンをくみ、1年毎の末にｘ円ずつ返済して，ｎ年で完済する（均等返還）計画をたてている。
　　　　　いま、年利率をｒ（少数表示）とすると、毎年の返済額はいくらになるか求めよ。」

　　　１年目の返済が済んだときのローン残額；Ａ（１＋ｒ）−ｘ

　　　２年目の返済が済んだときのローン残額；Ａ（１＋ｒ）^２−ｘ（１＋ｒ）−ｘ 　　　　　　　　　　←｛Ａ（１＋ｒ）−ｘ｝（１＋ｒ）−ｘ

　　　３年目の返済が済んだときのローン残額；Ａ（１＋ｒ）^３−ｘ（１＋ｒ）^２−ｘ（１＋ｒ）−ｘ　　　←｛Ａ（１＋ｒ）^２−ｘ（１＋ｒ）−ｘ｝（１＋ｒ）−ｘ

　　　ｎ年目の返済が済んだときのローン残額；Ａ（１＋ｒ）^ｎ−　ｘ（１＋ｒ）^ｎ−１−ｘ（１＋ｒ）^ｎ−２−・・・−ｘ（１＋ｒ）−ｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ａ（１＋ｒ）^ｎ−｛ｘ＋ｘ（１＋ｒ）＋・・・＋ｘ（１＋ｒ）^ｎ−２＋ｘ（１＋ｒ）^ｎ−１｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１＋ｒ）^ｎ−１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ａ（１＋ｒ）^ｎ−　ｘ　━━━━━━━━
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１＋ｒ）−１　　　・・・初項＝ｘ、公比＝１＋ｒ、項数＝ｎで等比数列の和を求める

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１＋ｒ）^ｎ−１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ａ（１＋ｒ）^ｎ−　ｘ　━━━━━━━━　　・・・ｎ年後の返済額残高
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ

　　　ｎ年後の残高（式）が＝０ということだから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ　＝　━━━━━━━━　×　Ａ（１＋ｒ）^ｎ　・・・ｎ年後の返済額残高
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１＋ｒ）^ｎ−１
 

５． 指数関数の応用例（現在価値割引率）
　１）事業評価の事例；道路整備の費用便益分析
　　　　便益・・・人々の満足度や経済的利益を貨幣価値に換算して効用を表す。相対的なものを貨幣価値に換算して計算できる。
　　　　便益が費用を上回れば、その公共投資は行われる。

　２）現在価値割引率
　　　　現在の1000万円と30、40年後の1000万円は違う。
　　　　40年後の1000万円を現在価値になおす。

　　1000万円（現在価値）を保有する地方政府がこれを１％で銀行に預金する。
　　　１年後の将来価値（１年後の元利合計）；1000万円×（１＋0.01）＝1010  万円
　　　２年後の将来価値（２年後の元利合計）；1000万円×（１＋0.01）^２＝1020.1万円

　　現在価値1000万円は、１年後の将来価値1010  万円に等しい。
　　現在価値1000万円は、２年後の将来価値1020.1万円に等しい。

　　現在価値＝１年後の将来価値／（１＋0.01）
　　現在価値＝２年後の将来価値／（１＋0.01）^２

　　将来価値を現在価値に変換するときの利子率を「現在価値割引率」という。

　　政策評価を現在するための根本になる。
 
 

演習問題
（１）Ａ円の住宅ローンを、1年毎の末にｘ円ずつ返済して、ｎ年で完済する（均等返還）年利率をｒ（少数表示）とすると、毎年の返済額はいくらか。

（２）年利率が８％（ｒ＝0.08）のとき、100万円を借りて10年で返済するとき、毎年の返済額はいくらか。

（３）今ある地方政府が，ごみ処理機械の購入を検討している。このごみ処理機械は、価格が1000万円、耐用年数が２年であり、１年後及び２年後に
　　それぞれ500万円、600万円の便益をもたらすと予想されている。この時、地方政府が、費用便益法のみにもとづいて購入を検討するとすれば，
　　果たしてごみ処理機を購入するかどうか答えなさい。ただし、利子率は１％ととする。
 
 

　＊解答

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