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第６講 微分２−微分と最大値最小値問題
講義の目的
１）極大・極小の概念及び極値（極大値、極小値）や最大値・最小値の求め方を理解する。
２）第２階導関数の概念を理解する。
１．関数の増減表
極大・極小とは・・・
ある一定の領域の中でもっとも大きい、または小さい値。
一つとは限らない。
「ｙ＝ｆ(ｘ)について、ｘ＝ａのとき、ｆ(ｘ)は極大をとる」という表現をする。
ｆ(ａ)という具体的な値は、「極大値」という。
「極値」という言葉は、「極大値」と「極小値」の両方を指す。
例１：２次関数 ｙ ＝ −ｘ２ ＋ ６ｘ の増減
＜平方完成＞
ｙ ＝ −ｘ２ ＋ ６ｘ ＝（ｘ−３）２＋９ より、グラフを描く。
ｘ ＝ ３のとき極大値９をとることがわかる。
＜微分＞
導関数 ｙ´＝ −２ｘ − ６ ＝ −２（ｘ − ３） から以下のことがわかる。
ｙ´＞ ０ となるｘの範囲は、ｘ ＜ ３
このとき、接線の傾き ｙ´はプラスであるからグラフは右上がり。
ｙ の値は、ｘ の増加とともに増加する。
ｙ´＜ ０ となるｘの範囲は、ｘ ＞ ３
このとき、接線の傾き ｙ´はマイナスであるからグラフは右下がり。
ｙ の値は、ｘ の増加とともに減少する。
ｙ´＝ ０ となるｘの範囲は、ｘ ＝ ３
このとき、接線の傾き ｙ´はゼロ（０）であり２次関数の頂点となる。
ｙ の値は、ｘ の増加とともに増加する。
以上のことは「増減表」で簡潔に示すことができる。
増減表
ｘ ＜ ３のとき ｙ´＞ ０（接線の傾きが正）
ｘ ＝ ３のとき ｙ´＝ ０（接線の傾きが０）
ｘ ＞ ３のとき ｙ´＜ ０（接線の傾きが負）
ｙ´＝ ０で極大値 ｙ ＝ ９ をとる。
（ここでは最大値であり、最適解を得ることができる）
ただし、ｙ´＝ ０ は極値を求めることはできても、それが、極大値か極小値か決めることができない。
（たとえば、ｙ ＝ ｘ２ では ｙ´＝ ０ のとき、極小値を取る。）
必ずしも極大値を得られない・・・ｙ"（第２階導関数）が正か負で極大・極小の区別ができる。
例２：３次関数ｙ ＝ ｘ３ − ３ｘ の増減
導関数 ｙ´ ＝ ３ｘ２ − ３ ＝ ３（ｘ ＋ １)(ｘ − １）
増減表
極大 ｘ ＝ −１ のとき、極大値 ｙ ＝ ２
極小 ｘ ＝ １ のとき、極小値 ｙ ＝ −２
２．第２階導関数の概念
１）距離、速度、加速度 の関係
ｙ ＝ ｆ(ｘ)で、ｙを距離、ｘを時間とした場合、
ｙ´ ＝ ｆ´(ｘ) 距離を時間で微分・・・速度
ｙ" ＝ ｆ" (ｘ) 速度を時間で微分・・・加速度
ｙ" ＞ ０・・・時間とともに加速 速度は速くなる
ｙ" ＜ ０・・・ 減速 遅くなる
２）第２階導関数は「接線の傾きの変化」を示す。
ｙ´は接線の傾き、ｙ" は接線の傾きの変化 を示す
ｙ" ＞０・・・接線の傾きは逓増する
ｙ" ＜０・・・接線の傾きは逓減する
増減表を書かなくても極大・極小がわかる。
３）ｙ ＝ ｆ(ｘ) において、ｆ´(ａ) ＝ ０ であるとき、
ｆ" (ｘ) ＞ ０ ならば、ｆ(ｘ) は ｘ
＝ ａ で極小
ｆ" (ｘ) ＜ ０ ならば、ｆ(ｘ) は ｘ
＝ ａ で極大
一般的に、ｙ´ ＝ ｆ´(ｘ) ＝ ０ を満たすｘに対応するｙが極値をとることはわかる。
しかしそれが、極大値か極小値かはわからない。極大値か極小値かの情報を得るためには、第２階導関数を求める必要がある。
例２の場合、ｙ" ＝ ６ｘ したがって
ｘ ＝ １のとき、ｙ" ＞０ であるから、ｙ ＝ −２は極小値
ｘ ＝ −１のとき、ｙ" ＜０ であるから、ｙ ＝ ２は極大値 となる。
３．最大最小値問題
例：次の関数の最大値と最小値を指定された定義域（ｘの範囲）内で求めよ。
ｙ ＝ ２ｘ３ − ９ｘ２ （−１ ≦ ｘ ≦ ５）
導関数 ｙ´ ＝ ６ｘ２ − 18ｘ ＝ ６ｘ（ｘ − ３）
増減表
したがって、ｘ ＝ ５ のとき、最大値 ｙ ＝ 25
ｘ ＝ ３ のとき、最小値 ｙ ＝ −27
ｘ ＝ ０、ｙ ＝ ０ ・・・極大であるが最大ではない。
ｘ ＝ ３、ｙ ＝ −27 ・・・極小かつ最小である。
演習問題
（１）ｙ ＝ 12ｘ − ｘ３ の増減表をつくり、極値を調べよ。また、増減表を使用せずに第２階導関数を用いて極値を求めよ。
（２）ｙ ＝ ｘ３ − ６ｘ２ ＋ ９ｘ の増減表をつくり、極値を調べよ。また、増減表を使用せずに第２階導関数を用いて極値を求めよ。
（３）たて３ｃｍ、横８ｃｍの長方形のブリキ板の四隅から、一辺ｘｃｍの正方形を切り取り、ふたのない容器を作る。
容器の容積ｙｃｍ３を最大にするには、切り取る正方形の一辺の長さを何ｃｍにすればよいか。