Numerical Solution By Explicit-FTCS - 7

■　プログラムの実行結果　■

　exftcs.fを実行すると次の出力ファイルが出てくるはずです。

　output__.datをグラフ化させたものを，Fig.17，Fig.18に示します。Fig.17の入力条件は，TT=3000，6000，9000，XX=10000，�冲=500，�凅=500，u=0.5，σ=0.5です。また，Fig.18の入力条件は，TT=9000，XX=10000，�冲=100，500，1000，�凅=500，u=0.5，σ=0.1，0.5，1.0です。なお，初期条件はc(x,0)=0，境界条件はc(0,t)=1です。

Fig.17　解析解と近似解（陽解式FTCS）の比較		Fig.18　無次元パラメータσの影響

　Fig.17を見てください。Fig.17は，移流方程式の解析解と陽解式FTCS近似解を比較したものです。x=0の地点より汚染物質が注入されており，それが時間が経つにつれてxの正の方向へ流されているのがわかります。ここで，近似解に着目してください。陽解式FTCS差分法より得られた近似解は何やら波の形をしていますね。はたしてこれは正しいのでしょうか。答えはノーです。なぜなら，移流という現象は，汚染物質が流れよって流されるだけの現象ですので，汚染濃度が増幅したり減衰したりすることはありません（この場合，汚染濃度は0か1しか取りえません）。
　次に，Fig.18を見てください。Fig.18は無次元パラメータσの値が近似解に及ぼす影響を調べたものです。σが大きくなるにつれて，近似解の振幅が大きく（不安定）なりそうですね。一方，σが小さくなるについれて，近似解の振幅は小さくなりますが，横方向（x軸方向）のズレが大きくなりそうですね。なお，無次元パラメータを変化させるということは，刻み幅�凅，�冲を変化させるということです。

　Fig.17及びFig.18を見て以下のことが推測できます。

1.　陽解式FTCS差分法により得られた近似解は必ず不安定（発散）になる（振幅が増大しているからです）。
2.　σを小さくするほど，発散量は小さくなる。しかし，横方向のズレが大きくなってしまう。
3.　陽解式FTCS差分法では，安定した近似解を得ることはできないが，不安定ながらも精度良い近似解を得るためには，σを小さく且つ解析時間を小さくする必要がある（コレでも，結構無理があります）。

■　ちょっと一言　■

　結局のところ，移流方程式の近似解を求めるために，陽解式FTCS差分法を適用しても全然ダメということがわかりましたね。後ほど説明しますが，陽解式CTCS差分法（通称LeapFrog法）を適用するとかなりマシになります。しかし，LeapFrog法を使って移流方程式の近似解を求めて，必ずその解が安定し精度良いのかというとそうでもありません。
　「じゃあ，どれもダメじゃん」ということになりますが，その通りです。そもそも，差分法というものは移流方程式の近似解法には向いていません。移流方程式を安定し精度良く近似計算を行うには，別の近似解法（例えば，特性曲線法など）を使います。どうしても，差分法を適用する場合には，上で述べたLeapFrog法や風上法などが用いられれます。興味ある人は勉強してみてください。