Numerical Solution By Explicit Method - 2

■　一階線形常微分方程式の差分解法　■

　さて，(4)式を差分法を用いて近似的に解いてみましょう。前項のとおりに，説明をしていきます。いきなりのことで疑問に思うことが多々あるかと思いますが，とりあえず，以下のとおりマネしてください。

■　独立変数を離散化する　■

　(4)式の独立変数は，時間tですね。ちなみに，汚染濃度cは従属変数です（tが決まることによって，cが決まる）。さて，tは連続量なので，これを離散量に変換します。Fig.3のように，t軸を�冲の間隔で，NT等分します。

Fig.3　t軸を�冲間隔でNT等分する

ここに，

(14)

という関係が成り立ちますね。

■　微分方程式から差分方程式へ変換（陽解法）　■

　(4)式も連続量なので，この方程式も離散化する必要があります。ここでは，差分法を用いて離散化します。

(4，再載)

dc/dtについて考えてみましょう。dc/dtを離散量に変化させる必要があるのですが，これは次のように離散化させます（高校時代に習っているはずです）。

(15)

しかし、Δtはいくら小さくても有限の数値なので“＝”の代わりに“”になります。

(15a)

ここで，tをtⁿ,t+Δtをtⁿ⁺¹，c(t)をcⁿ,c+Δtをcⁿ⁺¹と置きます。すると、（15a）式は次のようになります。

(15b)

さて，次に考えなくてはならないのは，(15)式のdc/dtを，区間[t,t+�冲]の間のどの点を評価するのかということです。 ここでは，dc/dtをt=tⁿの点にて評価します。 即ち，（4_G）式より,

(16G)

したがって，(15)，(16)式より，(4_G)式における差分方程式が次のように導かれます。

(17G)

さらに、(17_G)式を変形すれば，次式のようになります。

(18G)

いま、具体例として4式の右辺をfのところに代入すると次式のようになります。

(18)