Numerical Solution By Implicit Method - 4

■　増幅率　■

　陰解法での解の安定性と精度について検討するために，増幅率を考えてみましょう。陽解法のとき同様に，陰解式差分方程式(34)式をを用いて表わしましょう。すると，次式のようになります。

(35)

したがって，陰解式差分方程式の数値解増幅率ρは次式で与えられます。

(36)

■　精度と安定性　■

　解析解増幅率ρ_aと陰解法における数値解増幅率ρをグラフにしたものをFig.12に示します。

Fig.12　解析解増幅率ρaと数値解増幅率ρの比較

　さて，ここから近似解の計算に必要な，最適な刻み幅�冲を求めてみましょう。その�冲は，次の条件から決定するのでしたね。
1.　安定した解を得ること（絶対必要条件）
2.　精度の良い解を得ること

1.の条件については，数値解増幅率ρの絶対値が1以下であることでしたね。2.の条件については，数値解増幅率ρが解析解増幅率ρ_aに漸近することでしたね。このことを考慮すると以下のことがわかります。

　陰解法を用いる（特にθが1/2以上）と，近似解は安定しやすい。また，θ=2/3のとき，近似解の精度は良い。したがって，陽解法においては，安定しなお且つ精度良い計算を行うためには�冲/Tを0.25以下に設定する必要があったが，陰解法（θ=2/3）においては，�冲/Tを2.5以下に設定すれば良い。即ち，陰解法の方が，少ない計算時間で安定し，精度良い近似解が得られるということです。