1st-order linear Ordinary Differential Equation - 3

■　質量保存側　■

　Fig.1において，汚染物質の質量保存則を考えます。質量保存側は次式で表わされます。

(1)

(1)の各項の内訳は次のようになります。皆さんも試してみてください。

コントロールボリューム内での 単位時間当たりの質量変化
流入質量
流出質量

したがって，湖内での質量保存側すなわち支配方程式は次式で表わされます。

(2)

ここに，c：汚染濃度[M/L³]，T_r：反応時間[T]を表わします。

■　水理学的な定常とは　■

　この段階ではV=const、すなわちと仮定します。ここで（２）式が、次の（2a）式のように変形できます。
（つまり、Vが定数となって外に出せる）

(2a)

■　支配方程式　■

　Fig.1内で起きている現象は，(2a)式で表わされるということがわかりました。 さて，(2a)式をさらに簡略化しましょう。
　(2a)式において，変数はcのみとして，他のパラメータはすべて一定とします。
式(2a)をよりわかり易くするために、まずは定常状態（dc/dt = 0）について考えてみましょう。このときの濃度をと置き、(2a)式から下記のような結果が導き出される。

(3)

(2a)，(3)式より，最終的な支配方程式は次式で表わされます。

(4)

ここに，パラメータTを次のように定義します。

(5)

≪５月１４日に追加しました≫
ここで、一般式について考えたいと思います。一般的な一次常微分方程式は下記の形になります：

（４）式と比べると、右辺に従属変数であるcおよび独立変数のtの任意関数がある。
(※：式番号の添え字“G”は、“General case”＝“一般式”を表しています 。)